El módulo disciplinar de Probabilidad y estadística del EXANI-II mide tu capacidad para organizar, describir e interpretar datos, así como para calcular la posibilidad de que ocurra un evento. Es un contenido de bachillerato: no requiere fórmulas avanzadas, sino comprender bien los conceptos y aplicarlos con cuidado en problemas cotidianos (encuestas, juegos de azar, control de calidad, salud pública, etc.).
Aquí distinguirás población (el grupo completo de interés) de muestra (el subconjunto que realmente se estudia), y clasificarás variables como cualitativas o cuantitativas (discretas o continuas), además de identificar su nivel de medición (nominal, ordinal, intervalo o razón). También trabajarás con distribuciones de frecuencias y con las tres familias de medidas que resumen un conjunto de datos: de tendencia central (media, mediana, moda), de dispersión (rango, varianza, desviación estándar) y de posición (cuartiles, deciles, percentiles). Un punto clave: la media se distorsiona con valores atípicos, mientras que la mediana es más robusta; y al calcular varianza o desviación estándar hay que distinguir si los datos son población (se divide entre n) o muestra (se divide entre n−1).
Repasarás las operaciones básicas entre conjuntos —unión, intersección, diferencia y complemento— y su representación mediante diagramas de Venn-Euler, herramienta útil para resolver problemas de cardinalidad (por ejemplo, cuántas personas de un grupo cumplen dos condiciones a la vez o ninguna de ellas), aplicando la fórmula |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|.
Se parte de la regla de Laplace (casos favorables entre casos posibles) y del espacio muestral de un experimento, apoyándote en diagramas de árbol y en técnicas de conteo: permutaciones (cuando el orden importa) y combinaciones (cuando no importa). Distinguirás eventos independientes de dependientes, calcularás probabilidad condicional, y conocerás nociones de las distribuciones binomial y normal, así como el teorema de Bayes para actualizar probabilidades con nueva evidencia. También identificarás los tres enfoques de la probabilidad: clásico (antes del experimento), frecuencial (con base en observaciones repetidas) y subjetivo (con base en el juicio personal).
Practica leyendo con calma los datos del enunciado, ordénalos antes de calcular medidas de posición, verifica si el problema pide reemplazo o no, y confirma si el conteo requiere orden (permutación) o no (combinación) antes de elegir tu respuesta.
1. En una universidad con 8,000 estudiantes inscritos, un investigador selecciona aleatoriamente a 200 estudiantes para conocer su opinión sobre el servicio de biblioteca. En este estudio, ¿qué representan los 200 estudiantes seleccionados?
La muestra es el subconjunto representativo que se toma de la población (los 8,000 estudiantes) para realizar el análisis. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
2. Un estudio registra el color de cabello de los participantes (negro, castaño, rubio, pelirrojo). ¿Qué tipo de variable es "color de cabello"?
El color de cabello es un atributo no numérico que se clasifica en categorías, por lo que es una variable cualitativa. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
3. El número de hijos por familia en una colonia se registra con valores como 0, 1, 2, 3, etc. ¿Qué tipo de variable es "número de hijos"?
El número de hijos toma valores enteros contables (0, 1, 2, ...), por lo que es una variable cuantitativa discreta. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
4. La temperatura ambiente registrada en grados Celsius (por ejemplo, -5°C, 0°C, 20°C) corresponde a un nivel de medición de...
La escala Celsius tiene diferencias iguales entre valores, pero su cero es arbitrario (no indica ausencia total de temperatura), por lo que es de nivel de intervalo. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
5. El peso en kilogramos de un grupo de estudiantes (por ejemplo, 55 kg, 60 kg, 70 kg) corresponde a un nivel de medición de...
El peso tiene un cero absoluto (0 kg equivale a ausencia de peso) y permite establecer razones entre valores, por lo que es de nivel de razón. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
6. Los datos son 5, 8, 8, 10, 14. La media aritmética de este conjunto de datos es ______.
La media es la suma de los datos (5+8+8+10+14=45) entre el número de datos (5): 45/5 = 9. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
7. Los datos son 12, 7, 15, 9, 20, 7, 18. ¿Cuál es la mediana de este conjunto?
Al ordenar los datos (7, 7, 9, 12, 15, 18, 20), el valor central, el cuarto de siete datos, es 12. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
8. Los datos son 3, 5, 5, 7, 9, 5, 2. ¿Cuál es la moda de este conjunto?
El valor 5 se repite tres veces, más que cualquier otro dato, por lo que es la moda. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
9. Los datos son 2, 3, 4, 4, 52. ¿Cuál es la mediana de este conjunto?
El valor central de los 5 datos ordenados (2, 3, 4, 4, 52) es 4; a diferencia de la media (13), la mediana no se ve afectada por el valor atípico 52. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
10. Los datos son 18, 22, 9, 31, 14, 27. ¿Cuál es el rango de este conjunto de datos?
El rango es la diferencia entre el valor máximo (31) y el mínimo (9): 31 − 9 = 22. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
11. Los datos 4, 6, 8, 10, 12 constituyen una población completa. ¿Cuál es la varianza poblacional de este conjunto?
La media es 8; las desviaciones al cuadrado son 16, 4, 0, 4 y 16, cuya suma es 40; al dividir entre N=5 se obtiene una varianza de 8. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
12. Los datos 3, 5, 7, 9, 11 son una MUESTRA. ¿Cuál es la desviación estándar muestral (dividiendo entre n−1)?
La varianza muestral es 40/(5−1) = 10; la desviación estándar es √10 ≈ 3.16 (usar n−1, y no n, es la clave al tratarse de una muestra). (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
13. Sean A = {1, 3, 5, 7} y B = {2, 3, 4, 5}. ¿Cuál es el resultado de A ∪ B?
La unión A∪B incluye todos los elementos que están en A o en B, sin repetir: {1, 2, 3, 4, 5, 7}. (Módulo Probabilidad y estadística — conjuntos (CENEVAL EXANI-II))
14. Sean A = {2, 4, 6, 8, 10} y B = {4, 8, 12, 16}. ¿Cuál es el resultado de A ∩ B?
La intersección A∩B contiene únicamente los elementos comunes a ambos conjuntos: 4 y 8. (Módulo Probabilidad y estadística — conjuntos (CENEVAL EXANI-II))
15. Sean A = {a, b, c, d, e} y B = {c, d, e, f, g}. ¿Cuál es el resultado de A − B?
A−B contiene los elementos de A que no pertenecen a B: a y b. (Módulo Probabilidad y estadística — conjuntos (CENEVAL EXANI-II))
16. El conjunto universo es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y A = {2, 4, 6, 8, 10}. ¿Cuál es el complemento de A?
El complemento de A contiene todos los elementos del universo que no están en A: {1, 3, 5, 7, 9}. (Módulo Probabilidad y estadística — conjuntos (CENEVAL EXANI-II))
17. En un grupo de 50 estudiantes, 28 practican fútbol, 20 practican básquetbol y 10 practican ambos deportes. ¿Cuántos estudiantes no practican ninguno de los dos deportes?
Por inclusión-exclusión, |F∪B| = 28+20−10 = 38 practican al menos uno; los que no practican ninguno son 50−38 = 12. (Módulo Probabilidad y estadística — conjuntos (CENEVAL EXANI-II))
18. De un grupo de 100 clientes de un gimnasio, 60 usan el área de pesas, 45 usan el área de cardio y 25 usan ambas áreas. ¿Cuántos clientes usan solo el área de cardio?
Los clientes que usan solo cardio son el total de cardio menos quienes usan ambas áreas: 45 − 25 = 20. (Módulo Probabilidad y estadística — conjuntos (CENEVAL EXANI-II))
19. En una encuesta a 80 personas, 45 leen el periódico A, 38 leen el periódico B y 15 leen ambos periódicos. ¿Cuántas personas leen solo el periódico A?
Los que leen solo A son quienes leen A menos quienes leen ambos: 45 − 15 = 30. (Módulo Probabilidad y estadística — conjuntos (CENEVAL EXANI-II))
20. Sobre los diagramas de Venn-Euler y las operaciones entre conjuntos, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es INCORRECTA?
La afirmación incorrecta es la B, ya que describe la intersección; la unión incluye los elementos que están en A o en B, sin necesidad de estar en ambos. (Módulo Probabilidad y estadística — conjuntos (CENEVAL EXANI-II))
21. Se lanza un dado de seis caras, no cargado. Según la regla de Laplace, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4?
Hay 2 casos favorables (5 y 6) de 6 posibles resultados; P = 2/6 = 1/3. (Módulo Probabilidad y estadística — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))
22. Se lanza una moneda dos veces consecutivas. ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?
El espacio muestral incluye todos los resultados posibles de los dos lanzamientos: águila-águila, águila-sol, sol-águila y sol-sol. (Módulo Probabilidad y estadística — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))
23. Un restaurante ofrece 3 tipos de entrada y 2 tipos de plato fuerte. Si un cliente debe elegir una entrada y un plato fuerte, ¿cuántas combinaciones distintas puede formar, según el diagrama de árbol de este experimento?
Por el principio multiplicativo, representado en el diagrama de árbol, el número de combinaciones es 3 × 2 = 6. (Módulo Probabilidad y estadística — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))
24. Un meteorólogo afirma que "hay 70% de probabilidad de lluvia mañana", basándose en la proporción de veces que llovió en años anteriores bajo condiciones atmosféricas similares. Este enfoque de la probabilidad se clasifica como...
Al basarse en la frecuencia relativa observada de un evento en el pasado bajo condiciones similares, este enfoque es frecuencial (empírico). (Módulo Probabilidad y estadística — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))
25. Antes de lanzar un dado no cargado, se calcula que la probabilidad de obtener un 3 es 1/6, únicamente con base en que hay 6 resultados igualmente posibles. Este enfoque de la probabilidad es...
Calcular la probabilidad antes de realizar el experimento, con base en resultados igualmente posibles, corresponde al enfoque clásico (regla de Laplace). (Módulo Probabilidad y estadística — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))
26. Los datos ordenados son 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 (11 datos). Usando la fórmula de posición Qk = k(n+1)/4, ¿cuál es el valor del primer cuartil (Q1)?
La posición de Q1 es (n+1)/4 = 12/4 = 3; el tercer dato de la lista ordenada es 6. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
27. Con el mismo conjunto de 11 datos ordenados (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22), ¿cuál es el valor del tercer cuartil (Q3)?
La posición de Q3 es 3(n+1)/4 = 36/4 = 9; el noveno dato de la lista ordenada es 18. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
28. Un estudiante obtuvo una calificación que corresponde al percentil 90 en un examen de admisión. ¿Qué significa esto?
El percentil 90 indica que el sustentante superó al 90% de los demás participantes en la distribución de calificaciones, no un porcentaje de aciertos. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
29. En una encuesta a 40 personas sobre su medio de transporte habitual, 16 respondieron "automóvil". La frecuencia relativa de esta categoría es ______.
La frecuencia relativa se calcula dividiendo la frecuencia absoluta entre el total de datos: 16/40 = 0.4. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
30. En una distribución de frecuencias de 5 clases, las frecuencias absolutas de las primeras cuatro clases son 8, 12, 15 y 10, y el total de datos es 60. ¿Cuál es la frecuencia absoluta de la quinta clase?
La suma de todas las frecuencias debe ser igual al total de datos (60); 60 − (8+12+15+10) = 60 − 45 = 15. (Módulo Probabilidad y estadística — descriptiva (CENEVAL EXANI-II))
31. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {4, 5, 6, 7, 8}. ¿Cuántos elementos tiene la diferencia simétrica (A ∪ B) − (A ∩ B)?
La unión A∪B tiene 8 elementos y la intersección A∩B tiene 3 (4, 5 y 6); la diferencia simétrica tiene 8−3 = 5 elementos. (Módulo Probabilidad y estadística — conjuntos (CENEVAL EXANI-II))
32. Si el conjunto A tiene 15 elementos, el conjunto B tiene 12 elementos y la intersección A∩B tiene 5 elementos, el número de elementos de A∪B es ______.
|A∪B| = |A| + |B| − |A∩B| = 15+12−5 = 22. (Módulo Probabilidad y estadística — conjuntos (CENEVAL EXANI-II))
33. Un club tiene 5 candidatos para ocupar los puestos de presidente, secretario y tesorero (una persona por puesto, sin repetir). El número de maneras distintas de asignar estos tres puestos es ______.
Como el orden importa (los puestos son distintos) y no se repiten personas, se usa la permutación 5P3 = 5×4×3 = 60. (Módulo Probabilidad y estadística — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))
34. De un grupo de 8 estudiantes se debe formar un comité de 3 integrantes, sin que importe el orden. ¿Cuántos comités distintos se pueden formar?
Como el orden no importa, se usa la combinación 8C3 = 8!/(3!·5!) = 56. (Módulo Probabilidad y estadística — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))
35. En una carrera participan 6 corredores. ¿De cuántas formas distintas se pueden otorgar las medallas de oro, plata y bronce, si un corredor no puede ganar más de una medalla?
El orden importa, ya que oro, plata y bronce son distinciones diferentes, por lo que se usa la permutación 6P3 = 6×5×4 = 120 (y no la combinación, que daría 20). (Módulo Probabilidad y estadística — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))