Las medidas de tendencia central resumen un conjunto de datos: la media es la suma de los datos entre el número de datos; la mediana es el valor central tras ordenar los datos (si son pares, se promedian los dos centrales); la moda es el dato más frecuente. Las medidas de variabilidad indican la dispersión: la varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media, y la desviación estándar es su raíz cuadrada; se usa /n si son "todos los datos" (población) y /(n−1) si es una "muestra". Las medidas de posición (percentiles, deciles, cuartiles) dividen los datos ordenados en 100, 10 o 4 partes iguales. En probabilidad, P = casos favorables / casos posibles. Para eventos independientes, P(A y B) = P(A) × P(B); si son mutuamente excluyentes, P(A o B) = P(A) + P(B); si no lo son, P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B). Distingue problemas con reemplazo (la probabilidad no cambia) de sin reemplazo (el espacio muestral se reduce). En conteo: el principio multiplicativo multiplica las opciones de cada paso; nPr = n!/(n−r)! aplica cuando el orden importa, y nCr = n!/(r!(n−r)!) cuando no importa.
En el plano cartesiano, la distancia entre A(x1,y1) y B(x2,y2) es d = √[(x2−x1)² + (y2−y1)²] (teorema de Pitágoras). El punto medio es M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2). La pendiente entre dos puntos es m = (y2−y1)/(x2−x1); rectas paralelas tienen igual pendiente, y perpendiculares tienen pendientes recíprocas de signo contrario (su producto es −1). La recta se escribe como y = mx + b (pendiente-ordenada) o y − y1 = m(x − x1) (punto-pendiente). Fórmulas clave de área: rectángulo (base × altura), triángulo (base × altura / 2), círculo (πr², sin confundir radio con diámetro), trapecio ((B+b) × h / 2). De volumen: prisma (largo × ancho × altura), cilindro (πr²h), esfera (4/3 πr³), cono y pirámide (1/3 × área de la base × altura).
En un triángulo rectángulo: seno = opuesto/hipotenusa, coseno = adyacente/hipotenusa, tangente = opuesto/adyacente (SOH-CAH-TOA), y el teorema de Pitágoras (hipotenusa² = cateto1² + cateto2²) resuelve ternas como 3-4-5, 6-8-10 o 5-12-13. Para triángulos oblicuángulos: la ley de senos (a/sen A = b/sen B = c/sen C) sirve con dos ángulos y un lado; la ley de cosenos (c² = a² + b² − 2ab·cos C) sirve con dos lados y el ángulo entre ellos, o los tres lados. Ángulos notables: sen 30° = cos 60° = 1/2; sen 60° = cos 30° = √3/2; sen 45° = cos 45° = √2/2; tan 30° = √3/3; tan 45° = 1; tan 60° = √3. Aparecen en problemas de ángulo de elevación/depresión.
1. Se tiene el siguiente conjunto de datos: 3, 6, 6, 9, 21. ¿Cuál es la media (promedio) de estos datos?
La suma de los datos es 3+6+6+9+21=45 y hay 5 datos, por lo que la media es 45/5=9. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
2. Un vendedor registró las siguientes ventas diarias durante 7 días: 18, 5, 12, 9, 21, 7, 15. ¿Cuál es la mediana de estas ventas?
Se ordenan los datos: 5,7,9,12,15,18,21; como hay 7 datos, la mediana es el valor central, es decir el cuarto: 12. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
3. Las calificaciones (escala 0-10) de 9 estudiantes en un examen fueron: 7, 8, 6, 8, 9, 8, 7, 10, 8. ¿Cuál es la moda de estas calificaciones?
El valor 8 se repite 4 veces, más que cualquier otro valor, por lo que la moda es 8. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
4. Los tiempos (en minutos) que tardaron 6 corredores en completar una carrera fueron: 32, 28, 35, 30, 41, 27. La mediana de estos tiempos es ______.
Se ordenan los datos: 27,28,30,32,35,41; como son 6 datos (número par), la mediana es el promedio de los dos valores centrales: (30+32)/2=31. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
5. Un conjunto de datos tiene un valor atípico extremadamente alto respecto a los demás. ¿Cuál medida de tendencia central se ve MENOS afectada por ese valor atípico?
La mediana depende de la posición de los datos ordenados, no de su magnitud, por lo que un valor atípico extremo la afecta mucho menos que a la media. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
6. Un pequeño taller registró el número de piezas defectuosas producidas en 5 días: 3, 3, 5, 3, 6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO es correcta?
La media es (3+3+5+3+6)/5=4 y la mediana (dato central al ordenar 3,3,3,5,6) es 3; como 4 es distinto de 3, la afirmación de que son iguales es falsa. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
7. Se tienen los siguientes 5 datos, que son todos los datos disponibles (población): 2, 4, 6, 8, 10. ¿Cuál es la varianza poblacional de este conjunto?
La media es 6; las desviaciones al cuadrado son 16,4,0,4,16, cuya suma es 40; la varianza poblacional es 40/5=8. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
8. Usando el mismo conjunto de datos poblacionales: 2, 4, 6, 8, 10, ¿cuál es la desviación estándar poblacional, redondeada a dos decimales?
La varianza poblacional es 8, por lo que la desviación estándar es la raíz cuadrada de 8, es decir, aproximadamente 2.83. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
9. Las edades (en años) de los 4 empleados de una pequeña oficina, es decir, la población completa, son: 25, 30, 35, 50. ¿Cuál es la varianza poblacional de estas edades?
La media es 35; las desviaciones al cuadrado son 100,25,0,225, cuya suma es 350; la varianza poblacional es 350/4=87.5. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
10. Un biólogo pesó, en gramos, 5 muestras de una planta que constituyen toda la población del estudio: 12, 15, 11, 18, 14. ¿Cuál es la desviación estándar poblacional de estos pesos, redondeada a dos decimales?
La media es 14; las desviaciones al cuadrado suman 30, la varianza poblacional es 30/5=6 y la desviación estándar es la raíz de 6, aproximadamente 2.45. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
11. En un estudio se seleccionó una muestra aleatoria de 5 focos de una fábrica y se midió su vida útil, en cientos de horas: 8, 10, 9, 11, 7. La varianza muestral de estos datos (usando n-1 en el denominador) es ______.
La media es 9; las desviaciones al cuadrado suman 10; al ser una muestra, se divide entre n-1=4, por lo que la varianza muestral es 10/4=2.5. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
12. Si la varianza poblacional de un conjunto de datos es 25, ¿cuál es su desviación estándar poblacional?
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, y la raíz cuadrada de 25 es 5. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
13. La desviación estándar poblacional de las estaturas, en centímetros, de un grupo de personas es 4 cm. ¿Cuál es la varianza poblacional correspondiente?
La varianza es el cuadrado de la desviación estándar, por lo que la varianza es 4²=16 cm². (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
14. Sobre la varianza y la desviación estándar poblacionales de un conjunto de datos, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es INCORRECTA?
La varianza se expresa en unidades al cuadrado respecto a los datos originales, no en las mismas unidades; por eso esta afirmación es incorrecta. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
15. Las calificaciones de 9 alumnos en un examen fueron: 60, 72, 55, 90, 68, 77, 82, 65, 70. ¿Cuál es el valor del primer cuartil (Q1) de este conjunto de datos?
Se ordenan los datos: 55,60,65,68,70,72,77,82,90; la posición de Q1 es (1×9)/4=2.25, que se redondea hacia arriba a la posición 3, cuyo valor es 65. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
16. Las estaturas, en centímetros, de 9 jugadoras de voleibol son: 178, 165, 182, 170, 175, 188, 172, 180, 168. ¿Cuál es el valor del tercer cuartil (Q3) de estas estaturas?
Se ordenan los datos: 165,168,170,172,175,178,180,182,188; la posición de Q3 es (3×9)/4=6.75, que se redondea hacia arriba a la posición 7, cuyo valor es 180. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
17. En una fábrica se registró el número de artículos producidos por 10 trabajadores en un turno: 20, 25, 22, 30, 18, 27, 24, 29, 21, 26. ¿Cuál es el valor del cuarto decil (D4) de estos datos?
Se ordenan los datos: 18,20,21,22,24,25,26,27,29,30; la posición de D4 es (4×10)/10=4, que es un número entero, así que se promedian los valores de las posiciones 4 y 5: (22+24)/2=23. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
18. Los tiempos de reacción, en milisegundos, de 8 atletas fueron: 210, 195, 230, 205, 220, 200, 215, 225. ¿Cuál es el percentil 30 (P30) de estos tiempos?
Se ordenan los datos: 195,200,205,210,215,220,225,230; la posición de P30 es (30×8)/100=2.4, que se redondea hacia arriba a la posición 3, cuyo valor es 205. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
19. En un control de calidad se midió el peso, en gramos, de 20 piezas metálicas, obteniendo los siguientes valores: 45, 52, 48, 50, 47, 55, 49, 51, 46, 53, 44, 56, 50, 48, 52, 47, 54, 49, 51, 46. ¿Cuál es el percentil 70 (P70) de estos pesos?
Al ordenar los 20 datos, la posición de P70 es (70×20)/100=14, un número entero, por lo que se promedian los valores de las posiciones 14 y 15, que son 51 y 52: (51+52)/2=51.5. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
20. Sobre los cuartiles de un conjunto de datos ordenado, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es INCORRECTA?
Por definición Q3 siempre es mayor o igual que Q1, nunca menor, por lo que esta afirmación es incorrecta. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
21. Las temperaturas máximas, en grados Celsius, registradas durante 7 días fueron: 28, 31, 25, 29, 33, 27, 30. El segundo cuartil (Q2) de estas temperaturas es ______.
Se ordenan los datos: 25,27,28,29,30,31,33; la posición de Q2 es (2×7)/4=3.5, que se redondea hacia arriba a la posición 4, cuyo valor es 29 (equivalente a la mediana). (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
22. En una encuesta se preguntó a 20 familias cuántos hijos tienen. Los resultados fueron: 5 familias no tienen hijos, 7 familias tienen 1 hijo, 6 familias tienen 2 hijos y 2 familias tienen 3 hijos. ¿Cuál es la moda del número de hijos por familia?
El valor con mayor frecuencia es 1 hijo, ya que 7 familias tienen esa cantidad, más que cualquier otro valor. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
23. Usando los mismos datos de la encuesta (5 familias con 0 hijos, 7 familias con 1 hijo, 6 familias con 2 hijos y 2 familias con 3 hijos), ¿cuál es el número promedio (media) de hijos por familia?
El total de hijos es 0×5+1×7+2×6+3×2=25 y el total de familias es 20, por lo que la media es 25/20=1.25. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
24. En una tienda se registraron las siguientes ventas diarias, en unidades, durante 5 días: lunes 12, martes 15, miércoles 9, jueves 20, viernes 16. ¿Cuál es la mediana de las ventas diarias?
Se ordenan los datos: 9,12,15,16,20; al ser 5 datos, la mediana es el valor central: 15. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
25. Un almacén registró el número de pedidos recibidos durante 6 días, de lunes a sábado: 10, 14, 8, 12, 16, 10. Estos son todos los datos disponibles (población). ¿Cuál es la desviación estándar poblacional del número de pedidos, redondeada a dos decimales?
La media es 70/6=11.67; la suma de las desviaciones al cuadrado es aproximadamente 43.33, la varianza poblacional es 43.33/6=7.22 y la desviación estándar es la raíz de 7.22, aproximadamente 2.69. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
26. Una veterinaria atendió el siguiente número de mascotas cada día durante una semana: lunes 6, martes 9, miércoles 4, jueves 11, viernes 8, sábado 7, domingo 5. ¿Cuál es el rango del número de mascotas atendidas?
El rango es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo: el máximo es 11 (jueves) y el mínimo es 4 (miércoles), por lo que el rango es 11-4=7. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
27. Los precios, en pesos, de 6 artículos en una tienda son: 45, 70, 38, 52, 41, 55. El precio promedio (media) de estos artículos, redondeado a dos decimales, es ______.
La suma de los precios es 301 y hay 6 artículos, por lo que la media es 301/6≈50.17. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
28. Las variaciones de temperatura, en grados Celsius, registradas por un sensor durante 8 mediciones consecutivas fueron: -3, 5, 0, -7, 2, -1, 8, -4. ¿Cuál es la mediana de estas variaciones de temperatura?
Se ordenan los datos: -7,-4,-3,-1,0,2,5,8; al ser 8 datos, la mediana es el promedio de los dos valores centrales: (-1+0)/2=-0.5. (Pensamiento matemático — estadística (CENEVAL EXANI-II))
29. Una tienda de helados ofrece 5 sabores diferentes y 3 tipos de conos. ¿De cuántas maneras distintas se puede elegir un helado con un sabor y un cono?
Por el principio multiplicativo, el número total de combinaciones es 5 sabores × 3 conos = 15. (Pensamiento matemático — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))
30. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en fila 4 libros distintos en un estante?
El número de arreglos de 4 elementos distintos en fila es 4! = 4×3×2×1 = 24. (Pensamiento matemático — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))
31. De un grupo de 5 amigos, ¿de cuántas formas se pueden elegir 2 para representar al grupo en un torneo, si el orden no importa?
Como el orden no importa, se usa la combinación C(5,2) = 5!/(2!·3!) = 10. (Pensamiento matemático — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))
32. Una contraseña debe tener exactamente 3 caracteres: el primero es una letra elegida entre 5 vocales, el segundo es un dígito del 0 al 9, y el tercero es una letra elegida entre las 4 vocales restantes (distinta de la primera). ¿Cuántas contraseñas diferentes se pueden formar?
Por el principio multiplicativo: 5 (primera vocal) × 10 (dígito) × 4 (vocales restantes, distinta de la primera) = 200. (Pensamiento matemático — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))
33. En una carrera participan 8 corredores. ¿De cuántas formas distintas se pueden asignar los lugares primero, segundo y tercero (medallas de oro, plata y bronce)?
Al importar el orden de los lugares, se usa la permutación P(8,3) = 8×7×6 = 336. (Pensamiento matemático — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))
34. Un equipo de baloncesto tiene 10 jugadores en el plantel. El entrenador debe elegir 5 titulares sin importar la posición. El número de combinaciones distintas de titulares que puede formar es ____.
El número de comités de 5 jugadores sin importar el orden es C(10,5) = 10!/(5!·5!) = 252. (Pensamiento matemático — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))
35. Un comité de 4 personas debe formarse a partir de un grupo de 6 hombres y 5 mujeres, de manera que incluya exactamente 2 hombres y 2 mujeres. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
Se eligen 2 hombres de 6, C(6,2)=15, y 2 mujeres de 5, C(5,2)=10; por el principio multiplicativo, 15×10 = 150 comités. (Pensamiento matemático — probabilidad (CENEVAL EXANI-II))